Let $X$ be a set and $G$ a group. A right (left) action of $G$ on $X$ is a map
$$ X \times G \longrightarrow X $$denoted b $(x,g)\mapsto x \cdot g$, and such that $x \cdot 1=x$ y $(x \cdot g)\cdot g'=x\cdot (gg')$ for every $x \in X$ and $g,g' \in G$.
One may equivalently define a group action of $G$ on $X$ as a group homomorphism from $G$ into the symmetric group $Sym(X)$ of all bijections from $X$ to itself.
There is also an interpretation in terms of category theory (see group as a category).
Related notions: subaction and quotient action.
En las condiciones de la definición anterior llamamos $G$-órbita de $x\in X$ al conjunto de puntos $x\cdot g$ para $g\in G$.
Para un subconjunto $S \subseteq X$ y un elemento $g\in G$, el conjunto $g$-trasladado $Sg$ es el conjunto de puntos de $X$ de la forma $x=s\cdot g$, para algún $s\in S$
El conjunto cociente $X/G$ es el conjunto de $G$-órbitas, y la aplicación $\pi: X \mapsto X/G$ que envía $x$ a su $G$-órbita es la aplicación cociente.
If the action is transitive then we only have one orbit, and for any $x \in X$ we have
$$ X\approx G/Stab_G(x) $$where $G/Stab_G(x)=\{g\cdot Stab_G(x): g\in G\}$, the set of cosets. In this case we say that $X$ is a homogeneous space.
Sea $X$ un espacio topológico y $G$ un grupo discreto. Una acción derecha de $G$ sobre $X$ es \textit{continua} si para cada $g\in G$ la aplicación $X \mapsto X$ inducida por $g$ es continua (y, por tanto, un homeomorfismo).
Se dice que la acción es propiamente discontinua cuando es continua y cada $x\in X$ admite un entorno $U_x$ tal que el $G$-trasladado $U_x\cdot g$ corta a $U_x$ sólo para un número finito de elementos de $G$.
La acciones libres y propiamente discontinuas son importantes porque en espacios $X$ Hausdorff cada $x \in X$ tiene al menos un entorno $U_x$ disjunto de cada $U_x \cdot g$ para cualquier $g \neq 1$ ({\color{red} hay que demostrarlo}).
Sea $X$ un espacio topológico de Hausdorff equipado con una acción libre y propiamente discontinua por un grupo $G$. Existe una única topología sobre $X/G$ tal que la aplicación cociente $\pi \mapsto X/G$ es continua y además un homeomorfismo local. Además, esta aplicación es abierta.
En dicha topología un conjunto $S \subseteq X/G$ es abierto si y sólo si su preimagen en $X$ es abierto. Y si el subconjunto $U\subseteq X$ es un conjunto abierto que es disjunto de $U\cdot g$ para $g\neq1$ entonces la aplicación $\pi|_U:U\mapsto \pi(U)$ es un homeomorfismo.
El espacio $X/G$ con esta topología es localmente Hausdorff en general. Podremos afirmar que es Hausdorff en el siguiente caso:
Lemma
En las condiciones de la proposición anterior, el espacio $X/G$ es Hausdorff si y sólo si la imagen de la aplicación
$$ X \times G \longrightarrow X \times X $$es cerrada en $X \times X$.
$\blacksquare$
Una acción de un grupo diremos que es diferenciable cuando los homeomorfismos asociados sean además difeomorfismos
Theorem (Quotient manifold theorem)
Suppose a Lie group $G$ acts smoothly, freely, and properly on a smooth manifold $M$. Then the orbit space $M/G$ is a topological manifold of dimension $dim(M)-dim(G)$, and has a unique smooth structure with the property that the quotient map $\pi:M\to M/G$ is a smooth submersion.
$\blacksquare$
See @lee2013smooth theorem 7.10 at page 153.
In case $G$ is a Lie group action on a manifold $M$ we have an injection
$$ \tau: G \longmapsto Diff(M) $$Indeed, $Diff(M)$ is in some sense like a (infinite dimensional) Lie group, whose Lie algebra is $\mathfrak{X}(M)$. This is due to the flow theorem for vector fields.
Given a vector in the Lie algebra $\mathfrak{g}$ we can consider the fundamental vector field on $M$. This corresponds to the differential of $\tau$ at the identity $e\in G$:
$$ \begin{aligned} d \tau_e : \mathfrak{g} & \longmapsto \mathfrak{X}(M)\\ V &\longmapsto (X_V:p\mapsto \frac{d}{dt}(p\cdot e^{tV} )|_{t=0}) \end{aligned} $$This is the induced Lie algebra action.
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Author of the notes: Antonio J. Pan-Collantes
INDEX: